第2章投影基础
第一节 点
一、学习要点
学习本节内容重点掌握：
1．两投影面体系和三投影面体系的建立方法及有关规定；
2．点的两面投影图的形成及投影规律；
3．点的三面投影图的形成及投影规律；
4．点的相对位置（包括重影点）的判断方法。
二、作业与练习
1.机械类各专业：机械制图与计算机绘图习题集P4
2.非机类各专业：工程制图习题集P10～P11
三、解题示例
例2-1 根据轴测图（图2-1（a））中A点的空间位置，画出点A的三面投影图。
解：
（1）空间分析
根据图2-1（a）可知：A点到V、H、W面距离分别为Aa′、Aa、Aa″，从图中量得A点的坐标为（20，10，15）。 A点的空间位置——即坐标值给定，那么根据点的投影规律和点的投影与坐标之间的关系，即可确定它们的投影。
（2）作图步骤
①先画出投影轴，再由O点向左沿OX轴量取X = 20，得aX；
②过aX作垂直于OX的投影连线，在投影连线上由aX向下量取y = 10，得水平投影a；在投影连线上由aX向上量取z=15，得正面投影a′；
③由a、a′求出侧面投影a″，如图2-1(b)所示；
通过此例，我们可以更进一步地了解点的投影和坐标之间的关系。利用投影和坐标之间的关系，可以画出已知坐标值的点的投影图，也可由投影量出空间点的坐标值。
（a）轴测图 （b）三面投影图
图2-1点的轴测图及三面投影图
例2-2 已知点A的正面投影a′和侧面投影a″，又知B点在A点左方20mm、后方10mm、下方5mm，C点在A点正下方10mm。求作A点的水平投影和B、C点的三面投影，并判断点的可见性(图2-2(a))。
解：
（1）空间分析
由于A点两个投影已确定该点的空间位置，根据点的投影规律可求出它的第三投影。根据题意可知，B点与A点坐标差为：XB－XA=20、YB－YA=－10、ZB－ZA=－5，以A点为参照，按照它们的坐标差和投影规律即可作出B点的三面投影。C点在A点的正下方，即两点的X、Y坐标值相等，两点在H面上的投影重合为一点，即为H面的重影点；Z坐标差：ZC－ZA=－10，根据坐标差可求出C点的三面投影。
图2-2求点的投影
（2）作图步骤
①由A点的两投影a′a″求出第三投影a，作法如图2-2（b）所示；
②在投影连线a′a左方20mm处作OX轴的垂线，与在投影连线a′a上由a′向下量取5mm所作水平线的交点为B点的正面投影b′；与由水平投影a向上量取10mm所作水平线的交点为B点的水平投影b，即求得B点的两面投影；
③ 由B点的两投影b、b′求出第三投影b″,如图2-2（c）所示；
④ 同样方法求出C点的三面投影，作法如图2-2（d）所示；
⑤判断可见性。A、C两点为相对于H面的重影点，C点在A点下方，所以，水平投影c被a遮住，不可见。
第二节直线
一、学习要点
通过直线的学习，应掌握以下内容：
1．掌握各种位置直线的投影特性和根据直线的投影判断其空间位置；
2．掌握用直角三角形法求一般位置直线的实长及其与投影面夹角的作图原理和作图方法；
3．掌握属于直线的点的投影特性和判断方法；
4．掌握空间两直线相对位置的投影特性、作图方法和判断方法；
5．掌握直角投影定理，即一边平行于投影面的两垂直直线的投影特性、作图方法和判断方法。
二、作业与练习
1.机械类各专业：机械制图与计算机绘图习题集P5～P7
2.非机类各专业：工程制图习题集P12～P15
三、解题示例
例2-3 已知三棱锥的两面投影，如图2-3（a）。试判断该棱锥上的棱线SA、SB、SC、AB、AC、BC的空间位置，并作出其侧面投影。
解：
（1）空间分析
三棱锥的投影，是由它表面上各棱线的投影组成。给出三棱锥的两面投影，即给出了它的各条棱线的两面投影，各棱线的空间位置已确定。因此，根据棱线两面投影相对于投影轴的位置，按照各种位置直线的投影特性即可判断它们的空间位置。求三棱锥的侧面投影，也就是求各棱线的侧面投影，即各棱线端点的侧面投影。
（2）判断
①因为s′a′、sa和s′c′、sc都倾斜于投影轴OX，所以，SA、SC是一般位置直线；
②因为s′b′、sb平行于投影轴OZ，所以，SB是侧平线；因为a′b′、b′c′平行于投影轴OX，ab、bc倾斜于投影轴OX，所以，AB、BC是水平线；
③ 因为a′c′和ac都平行于投影轴OX，所以，AC是侧垂线。
（3）作图步骤
①分别求出各顶点（A、B、C和S）的侧面投影；
②连接各点的侧面投影，求得各棱线的侧面投影，如图2-3（b）所示。
图2-3求三棱的侧面投影
第三节平面
一、学习要点
通过平面的学习，应掌握以下内容：
1．掌握平面的各种表示方法；
2．掌握各种位置平面的投影特性；
3．掌握平面内的点和直线的作图方法和投影特性；
二、作业与练习
1.机械类各专业：机械制图与计算机绘图习题集P8～P10
2.非机类各专业：工程制图习题集P16～P18
三、解题示例
例2-4 已知为△ABC一铅垂面，其对V面的倾角β=45°，试完成△ABC的水平和侧面投影（图2-4（a））。
解：
（1）空间分析
根据已知条件，△ABC是铅垂面，则它的水平投影积聚为一直线，该直线与投影轴OX的夹角反映其对投影面V的夹角β。所以，本题可利用水平投影求解。
（2）作图步骤
①确定△ABC水平投影的位置。由已知的a′、a″求出A点的水平投影a，；再过a作与OX轴成45°夹角的直线。
②求B、C两点的水平投影。由b′、c′求出B、C两点的水平投影b、c。
③ 求B、C两点的侧面投影。由b′、c′和b、c求出B、C的侧面投影b″、c″。
④ 求△ABC的侧面投影。连接a″、b″、c″，△a″b″c″即为所求，如图2-4（b）所示。
图2-4 求平面的投影
因为过A点的水平投影a与投影轴OX成45°的直线可作两条，因此，本题有两解，图中只作了一解。
第四节直线与平面、两平面的相对位置
一、学习要点
通过本节的学习，应掌握以下内容：
1．掌握直线与平面平行、两平面相互平行的几何条件和作图方法；
2．掌握求直线与平面的交点、两平面的交线的作图方法和可见性的判断方法；
3．掌握直线与平面垂直、两平面垂直的几何条件和作图方法；
4．掌握空间几何元素之间距离和角度度量的图解方法；
二、作业与练习
机械类各专业：机械制图与计算机绘图习题集P11～P15
三、解题示例
例2-5 求作一直线与两交叉直线AB、CD分别交于K、L点，并垂直于△EFG平面（图2-5（a））。
（a）已知条件（b）空间分析（c）作图
图2-6 作直线与两交叉直线相交
解：
（1）空间分析
这是单纯的相对位置题，可用“轨迹法”或“逆推法”求解。所求直线KL要满足与CD相交并垂直于△EFG平面的条件，其轨迹是包含CD并垂直于△EFG的平面P，即K点在平面P内；又直线KL还需满足与直线AB相交，即K点在直线AB上，其轨迹就是直线AB本身。那么，平面P与直线AB的交点就是K点。过K点在平面P内作△EFG平面的垂线与直线CD的交点即为点L，如图2-13（b）所示。另根据投影图可知，△EFG的EF边为正平线、EG边为水平线，可直接利用△EFG平面内的两条已知投影面平行线作△EFG平面的垂线。
（2）作图步骤
①包含直线CD作△EFG平面的垂直面P。过D点作直线DN⊥△EFG，（d′n′⊥e′f′，dn⊥eg），则直线DN和直线CD所确定的平面即为所求轨迹面P。
②求直线AB与平面P的交点K。包含直线AB作辅助正垂面R，求出直线CD与R面交点Ⅰ、直线DN与R面的交点Ⅱ；则交线ⅠⅡ直线AB的交点即为K点。
③求L点。过K点作直线∥DN，并与直线CD交于L点，则直线KL即为所求，如图2-5（c）所示。
第五节换面法
一、学习要点
1．掌握换面法的基本概念和新投影面的建立原则；
2．掌握点的投影变换规律；
3．掌握换面法的四个基本问题的作图方法；
二、作业与练习
机械类各专业：机械制图与计算机绘图习题集P16～P18
三、解题示例
例2-6 已知点A的水平投影a，并知A到△BCD的距离为10mm，求a′（图2-6（a））。
解：
（1）空间分析
已知点A到△BCD的距离为10mm，要在投影图上反映实长，则过A点作△BCD的垂线应是投影面的平行线，那么，△BCD必须是投影面的垂直面。因此，要把△BCD变成投影面的垂直面，一次换面即可完成。
（2）作图步骤
①把△BCD变成正垂面——H/V→H/V1。在△BCD内作辅助水平线BⅠ，新投影轴OX1⊥b1；求出△BCD在新投影面V1上的新投影b1′c1′d1′。
②确定a1′的位置。作与b1′c1′d1′距离为10mm的平行线与过a垂直于OX1轴的投影连线相交，交点即为a1′。
③ 求A点的正面投影a′。根据点的投影变换规律，由a和a1′即可求出a′，如图2-6（b）所示。
因为在b1′c1′d1′的两侧均可作距离为10mm的平行线，本题有两解，图中只作了一解。
（a）已知条件（b）作图
图2-6 把一般位置平面变成投影面垂直面
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